同位体地球科学データ処理特論

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第１回　Excelを用いてグラフを書く。数値積分を行う。

【復習１】Excelを用いてグラフを書く。

y = sin(2x)のグラフを[0,2π]の範囲で描け。x軸の目盛りはπを用いること。

【復習２】Excelを用いて数値積分を行う。
正規分布の関数　f(x)=exp(-x²/2)/sqrt(2π)　を[-1,1]の範囲で積分しなさい。
数値積分の方法としては、台形法則とシンプソンの公式を利用し、比較しなさい。

解答例

第２回　放射崩壊の様子をグラフ化する。

【課題１】放射崩壊の微分方程式 [dN = -λN]　を解いた結果をグラフに描く。　(λは崩壊定数である。）
【課題２】放射崩壊のグラフを差分法[ N(t+dt) =N(t) + (dN/dt)dt ]　でえがき課題１と比較する。
【課題３】ある時刻に親核種が突然増えたり減ったりしたときどうなるかをグラフで示す。

第３回　放射性娘核種の生成

【課題１】岩石中で岩石形成後に⁴⁰Kから生じた⁴⁰Arの量（cm³STP)とこの試料のK含有量（％）の比を岩石形成後の時間の関数として表しなさい。
　　　　　試料に対して「閉鎖系」の条件は満たされているとする。
【課題２】ある岩石試料の中で過去のある時刻T=0からT=Tまでに発生した放射崩壊で発生する⁴Heの量と²³⁸Uの量の比を時間の関数としてグラフに示しなさい。
　　　　　ただし、⁴Heは²³⁸Uののほか²³⁵U、²³²Thからも作られる。現在の試料中のTh/U比は4.00、²³⁸Uと²³⁵Uの比は137.88とする。
　　　　　試料に対して「閉鎖系」の条件は満たされているとする。

第４回　ウランー鉛系の年代学

【課題１】現在岩石中に²³⁸Uと²³⁵U、またこれらのUから放射崩壊の最終生成物とし生成した²⁰⁶Pbと²⁰⁷Pbが含まれている。
　　　　　岩石が出来てからT年が経過しているとして、²⁰⁶Pb/²³⁸Uの比を縦軸に、²⁰⁷Pb/^23５Uの比を横軸に取ったグラフの中にこの試料を表す点を描きなさい。
　　　　　Tを変数と考えると、一本の軌跡が得られる。これを描きなさい。
【課題２】Holmes-Houtermans model（各自で調べなさい。Principle of Isotope Geologyなど参照。）に従って、地球、太陽系における鉛同位体の進化曲線を描きなさい。

第５回　方程式の根を求める　---　Newton-Raphson法　と挟撃法

【課題１】 y=[exp(3x)-1]/[exp(2x)-1] - 4 の根をNewton-Raphson法（逐次近似）で求める。
　 　　　　　　Newton-Raphson法
　　　　　　　(1)　y = f(x) の根の近傍の値をx_iとする。
　　　　　　　(2)　(x_i, f(x_i))を通る接線を求め、その根をx_i+1とする。x_i+1はx_iの関数である。[x_i+1=g(x_i)ということ。]
　　　　　　　(3)　(1)(2)を繰り返して　x_i+2以降を求める。

【課題２】　y=x と y=g(x)を同じグラフに描き、逐次近似の進行をVisualizeしなさい。　
【課題３】　y=[exp(3x)-1]/[exp(2x)-1] - 4 の根を挟撃法を利用して求めなさい。

第６回　逐次近似（続き）　　モンテカルロ法

【課題１】y = x*sin(x) と x²+y² = 1の交点を逐次近似法で求めよう。

x²*(sin(x))² = 1 - x² より　x =±SQRT(1/(1+(sin(x))²)) を得る。この式を利用して交点のx座標を求めよ。
x = SQRT(1-x²)/sin(x)　という式を利用した場合は、収束しない。web diagramを用いて発散する様子を考察しなさい。
Newton-Raphson法を用いて交点のx座標を求めなさい。

【課題２】πの値をモンテカルロ法を利用して求める。
　　　　　　[0.1)の乱数を2個（P,Q)発生させる。
　　　　　　R²=P²+Q²を作り、R²=＜1ならflag = 1、R²＞1ならflag = 0とする。
　　　　　　N回の試行を行い、flugの和とNとの比を取る。
逐次近似に関するノート

第７回　２成分混合

【課題１】成分１、成分２があり、それぞれの化学元素A,Bの含有率はa, bである（含有率１％の場合0.01)。成分１、成分２をm：nで混合した時の様子を、縦軸にAの量、横軸にBの量を取って示しなさい。
　　　　描かれるグラフの上に、成分１の含有率が　0.0,　0.2,　0.4,　0.6, 0.8,　1.0の点に含有量を示す数字を入れなさい。
次のデータを使いなさい。


	化学元素A	化学元素B
成分１	0.05	0.12
成分２	0.10	0.08

【課題２】課題１のデータを使って、縦軸に化学元素AとBの比（a/b)、横軸にbを取ってグラフを書きなさい。

【課題３】課題１のデータを使って、縦軸に化学元素AとBの比（a/b)、横軸に1/bを取ってグラフを書きなさい。

第８回　３成分混合（3 isotope plot）

【課題１】隕石に含まれるネオンを調べると、隕石に特徴的なネオン（惑星型ネオン）、太陽風に特徴的なネオン（太陽型ネオン）、宇宙線が隕石の物質の原子にぶつかり、原子が破壊されて出来るネオン（原子核破砕ネオン）の３種類がみられる。
それぞれの同位体組成は表に示す通りである。



タイプ	20Ne/22Ne	21Ne/22Ne
惑星型	8.2	0.025
太陽型	13.8	0.033
原子核破砕	1.0	0.92
地球大気	9.80	0.029
隕石X	8,55	0.37


地球大気が上記３タイプの混合によって出来たとすると、どのような割合で混合したことになるか。

【課題２】隕石Xのネオンが上記タイプの混合とすると混合の割合はどうか。

【課題３】隕石の中にはこのほかにほぼ純粋の²²NeからなるNe-Eという成分も発見されている。
この成分は太陽の人世代前の星がその一生の最終段階で赤色巨星になった時、その外縁部で作られた²²Naが隕石材料物質に取り込まれた後崩壊して生じたものと考えられている。
もし、惑星型ネオンが太陽型、原子核破砕、ネオンーEの混合物とした場合には、その混合割合はどうなるか。

第９回　２成分混合（２）

【課題１】２つの年代測定試料A,Bがあり、K含有率はそれぞれ0.12%、5.3%であり、年代は3500万年、１億8000万年である。
　　　　この２つの試料が混合した試料はどのような年代を示すか、横軸に混合物に占めるAの割合を取ってグラフ化しなさい。

【課題２】上部大陸地殻、下部大陸地殻、マントルのSr同位体比、Nd同位体比は次の表に示す通りである。


	上部大陸地殻	下部大陸地殻	マントル
Nd(ppm)	31	40	18
143Nd/144Nd	0.51212	0.51071	0.51300
Sr(ppm)	160	104	380
87Sr/86Sr	0.7369	0.7170	0.7036


上部地殻物質とマントルが混合した場合、下部地殻物質とマントルが混合した場合の両方の場合について縦軸に¹⁴³Nd/¹⁴⁴Nd、横軸に⁸⁷Sr/⁸⁶Sr比を取って混合の様子を示しなさい。


【課題３】地球大気中及びマントル中のHe, Arの存在量と同位体を表に示す。


大気中のHe/Ar	大気中の4He/3He	大気中の40Ar/36Ar
5/10000	7.14x105	296	（未知数）	1.00x105	20000
マントル中のHe/Ar	マントル中の4He/3He	マントル中の40Ar/36Ar
（未知数）	1.00x105	40000
海水中のHe/Ar	海水中の4He/3He	海水中の40Ar/36Ar
7.6/(6.2x105)	7.14x105	296


　マントルからガスが漏れ出す海嶺中軸直上の海水中では、He同位体比の変化が見られるが、Ar同位体比の変化は見られない。
　同位体比はHeに関しては10倍は違わず,Arに関しては100倍以上違うのに、なぜ変動がHeのみに観測されるのか、その理由を上の表に基づいて説明しなさい。

第10回　黄砂成分の分析（冬休みの宿題）

【課題】金山による黄砂の分析データの用いて、黄砂と他の成分（日本の現地成分、海洋成分など）との混合について論じなさい。
上部の表は日本におけるエアロゾルの分析値、下部の表は黄砂地帯での分析値を示す。

第11回　最小二乗法　基礎編

【課題１】n個の点P_i(x_i,y_i)を通る最適直線（最小二乗法で求められる）を
　　　　　　y = bx + a
　　　　とするとき、n個のP_iの平均を示す点P(x₀,y₀)はこの直線上にあることを示しなさい。

第12回　最小二乗法に基づく推論

【課題１】 　　　　y_i = bx_i + a + u_i 　　　と書ける。
uの分散は　V(u) = σ² = S/(n-2) = [Σ(y_i - bx_i - a) ²]/(n-2)である。
aの推定値の分散、bの推定値の分散を誤差の伝播の公式から導きなさい。

第13回　最小二乗法　yの値の誤差に起因する重みがある場合

【課題１】

第1４回　最小二乗法　x、yの両方の値の誤差に起因する重みがある場合

【課題１】

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