²³⁸Ｕと²³⁵Ｕ の放射崩壊に関して
d[²³⁸Ｕ]/dt = -λ₂₃₈ [²³⁸Ｕ]-----（1）
d[²³⁵Ｕ]/dt = -λ₂₃₅ [²³⁵Ｕ]-----（2）

という微分方程式が成立します。ここに[²³⁸Ｕ]は²³⁸Ｕの原子数です。
地球全体でと考えても結構ですし、太陽系を代表する物質１グラムあたりと考えても結構です。
　　
　　（1）を解くと[²³⁸Ｕ] = [²³⁸Ｕ]₀ｅ^{-λ₂₃₈ｔ}となります。
　　　　　ここに[²³⁸Ｕ]₀ は初期値、この場合は４５億年前（ｔ=0）の量です。
　　　　ｔ=４５億年とした量が現在の量です。
　　（2）も同様に解きます。

　現在地球を含む太陽系物質（主に隕石）では²³⁸Ｕ：²³⁵Ｕの比が　137.88：1　になっています。

太陽系（あるいは地球）の年齢を45億年と考える、つまり　（[²³⁵Ｕ]/[²³⁸Ｕ]）（ｔ=45億年）　=　1/137.88　とすると

　　　（[²³⁵Ｕ]/[²³⁸Ｕ]）（ｔ=0）　=　0.31　がえられます。

これは、太陽系（地球）が出来たときの同位体比です。

　太陽系が出来る前の宇宙空間でのＵ合成に関しては両極端の２つのシナリオを考えます。

１）　太陽系に含まれるＵはある時短時間に（一瞬に）全て作られ、そのあとはただ放射崩壊によって減ってきた。
２）　太陽系に含まれるＵは宇宙に歴史を通じて一定の割合で作られてきた。作られる一方でもちろん放射崩壊も起きている。

　²³⁸Ｕ、²³⁵Ｕの生成率をＰ₂₃₈、Ｐ₂₃₅とするとＰ₂₃₈/Ｐ₂₃₅ = 1/1.5 程度と考えられています。
（生成率は宇宙全体で単位時間当たりと考えてもよいし、宇宙物質を代表する物質１グラムあたりと考えてもよい。）
従って１）のモデルの場合は、
　　（[²³⁵Ｕ]/[²³⁸Ｕ]）（ｔ=宇宙の初め）　=　1.5
だったのが何年かかって
　　（[²³⁵Ｕ]/[²³⁸Ｕ]）（ｔ=？）　=　0.31
になったのかを計算すれば太陽系形成の何年前に元素合成があったかが分かります。

２）のモデルはもう少し複雑です。微分方程式は次のようになります。
　
d[²³⁸Ｕ]/dt = -λ₂₃₈ [²³⁸Ｕ] + Ｐ₂₃₈　-----（3）
d[²³⁵Ｕ]/dt = -λ₂₃₅ [²³⁵Ｕ] + Ｐ₂₃₅ -----（4）

（3）（4）を解くと
　　
　　　[²³⁸Ｕ] = （Ｐ₂₃₈/λ₂₃₈）（１- ｅ^{-λ₂₃₈ｔ}）----（5）
　　　[²³⁵Ｕ] = （Ｐ₂₃₅/λ₂₃₅）（１- ｅ^{-λ₂₃₅ｔ}）----（6）
　となります。
　　　

　　　　

dy/dt = a-by という形の微分方程式です。 　by-a = u　とおくと b dy = du　ですから 　du/u = -b dt したがって（両辺を積分して）　log u = -bt+C 　u = A ｅ-bｔ 　by-a = A ｅ-bｔ 　y= （a+A ｅ-bｔ）/b 　　ｔ=0でｙ=0であるとして 　A=-a 従って y= (a/b)（1- ｅ-bｔ）となる。

ｅ^{-λ₂₃₈ｔ}）/（１- ｅ^{-λ₂₃₅ｔ}）}　=　０．３１ ----(7)
　となるｔを求めれば、それが宇宙でウランが作られ初めてから太陽系が出来るまでの時間になります。

この時間はおよそ９０億年程度になります。これに太陽系の年齢を足せばおよそ135億年になります。
これに、ビッグバンからウラン合成が始まるまでの年代（およそ２０億年）を加えたものが宇宙の年齢となります。
（（7）式からｔを求めるには例えばグラフを書くといった方法が簡単です。どのみち有効数字２桁程度の話ですから。
またｔ=90億年程度になりますと exp(-λ₂₃₅ｔ)はほとんど０になります。これを利用して、式を易しくすることもできます。）
　なお、半減期と崩壊定数の間には
　　　（半減期）ｘ（崩壊定数）=log２（=0.693）という関係があります。
　　　　²³⁸Ｕの半減期はおよそ４５億年、²³⁵Ｕの半減期はおよそ７億年です。