基礎的な微分の公式


 f(x) f'(x) 備考 
 xa a・xa-1 aは実数
 sin(x) cos(x)
 cos(x) -sin(x)
 tan(x) sec2(x)
 exp(x) exp(x)
 log(x) 1/x 自然対数
 arcsin(x)  1/(√(1-x2))  y=arcsin(x)はx=sin(y)ということ
 arccos(x)  -1/(√(1-x2)) 
 arctan(x)  1/(1+x2)

 以上が必要な公式です。あとは次に述べる関数の和の微分、関数の積の微分、関数の商の微分、合成関数の微分、
逆関数の微分、対数関数の微分などを利用します。

 f(x)  f'(x) 備考  例題 
 c・f(x)  c・f'(x) cは定数 y = 5 sin(x) : y' = 5 cos(x)
 f(x) + g(x) f'(x) + g'(x) y = sin(x) + cos(x) : y' = cos(x) - sin(x) 
 f(x)・g(x) f'(x)・g(x) + f(x)・g'(x) y = x2sin(x) : y' = 2xsin(x) + x2cos(x) 
 f(x)/g(x) (f'(x)・g(x) - f(x)・g'(x))/{g(x)}2 y = sin(x)/x2 : (x2cos(x) - 2xsin(x))/x4 
 f(g(x)) (df(u)/du)・(dg(x)/dx) ただし u=g(x) y = sin(x2) : 下の(1)参照 
 f-1(x) 1/(df(y)/dy) ただし x=f(y) y = arctan(x) : 下の(2)参照 
 log(f(x)) f'(x)/f(x) y = log(sin(x)) : y' = cos(x)/sin(x) = cot(x) 

(1) y = sin(x2) : u = x2 とおくと、 y = sin(u), u' = 2x 従って y' = cos(u)・ u' =2x・cos(x2)

(2) y = arctan(x) : x = tan(y) 両辺をxで微分。 1 = sec2(y)・y' 従って、y' = 1/sec2(y) sec2(y) = 1 + tan2(y) だから y' = 1/(1 + x2)


易しい練習問題(私が高校3年の時使った「高等学校 数学。(好学社)」の練習問題です。)


練習問題(「大学・一般教養 数学演習 【窪田忠彦監修】(培風館)」からとった問題です。)


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