| f(x) | F(x) = ∫f(x)dx | 備考 |
|---|---|---|
| xa | xa+1/(a+1) | a は-1 以外の実数 |
| 1/x | log |x| | logは自然対数 |
| sin(x) | -cos(x) | |
| cos(x) | sin(x) | |
| sec2(x) | tan(x) | |
| exp(x) | exp(x) | |
| 1/(√(1 - x2)) | arcsin(x) | |
| -1/(√(1 - x2)) | arccos(x) | |
| 1/(1 + x2) | arctan(x) |
積分は微分の逆演算である。簡単な微分の公式から導かれる基本的な積分を上の表にまとめた。
これ以外のものは、以下のような方法で簡単な積分に帰着させる。これが結構難しい。
F(x) = c･G(x)
F(x) = U(x) + V(x)
F(x) = U(x)･v(x) - ∫(U(x)･v'(x))dx
= x･sin(x) + cos(x) + C
= x･log(x) - ∫(1/x)･x dx = x･log(x) - x + C
= sinn-1(x)･∫sin(x) dx -∫(d(sinn-1(x))/dx)(∫sin(x) dx) dx
= sinn-1(x)･(-cos(x)) -∫(n-1) sinn-2(x)･cos(x)･(-cos(x))dx
= -sinn-1(x)･cos(x) + (n-1)∫sinn-2(x)･cos2(x)dx
= -sinn-1(x)･cos(x) + (n-1)∫sinn-2(x)･(1 - sin2(x))dx
= -sinn-1(x)･cos(x) + (n-1){∫sinn-2(x) dx - ∫sinn(x) dx}
= -sinn-1(x)･cos(x) + (n-1)(In-2 - In)
In + (n-1) In=(n-1)In-2 - sinn-1(x)･cos(x)
In = ((n-1)/n)･In-2 - (1/n)･ sinn-1(x)･cos(x)
F(x) =∫f(u)･u'dx
従ってF(x) = (1/2)∫cos(u)du= (1/2)sin(2x) + C
従ってF(x) = ∫(cos(2x) + 1)/2 dx= (1/4)sin(2x) + (1/2)x + C
従ってF(x) = ∫(√(1 - sin2(u)))･cos(u)du = ∫cos2(u) du = (1/4)sin(2u) + (1/2)u + C
= (1/4)･2sin(u)cos(u) + (1/2)u + C = (1/2)･x(√(1 - x2)) + arcsin(x) + C
du/dx = cos(x) つまり du = cos(x)dx また cos2(x) = 1 - u2 である。
従って、F(x) = ∫(1 - u2)ndu
例えば n = 2 であれば、F(x) = ∫(1 - u2)2du
=∫(1 - 2u 2+ u4)du = u - (2/3)u3 + (1/5)u5 + C = sin(x) - (2/3)sin3(x) + (1/5)sin5(x) + C
また 1 + x2 = 1 + tan2(u) = sec2(u)
従ってF(x) = ∫1/(√sec2(u))･sec2(u)du = ∫sec(u) du= ∫1/cos(u) du となる。
ここで t = tan (u/2) とおくと、dt = (1/2)sec2(u/2)du = (1/2){1 + tan2(u/2)}du = (1/2){1 +t2}du
つまり、du = 2/(1 + t2)･dt
また cos(u) = cos(2･(u/2)) = 2cos2(u/2) - 1 = {2/(1 + tan2(u/2))} - 1 = (1 - t2)/(1 + t2)
sin(u) = sin(2･(u/2)) = 2sin(u/2)cos(u/2) = 2{sin(u/2)/cos(u/2)}cos2(u/2) = 2tan(u/2){1/(1+tan2(u/2))}=2t/(1+t2)
従って、∫1/cos<(u) du = 2∫{(1+t2)/(1-t2)}{1/(1+t2)}dt = 2∫{1/(1-t2)}dt
=∫{1/(1-t) + 1/(1+t)}dt= -log|(1-t)| + log|(1+t)| + C = log |(1+t)/(1-t)| + C = log |(1+t)2/(1-t2)| + C
= log |{(1+t)2/(1+t2)}/{(1-t2)/(1+t2)}| + C = log |{1+2t/(1+t2)}/cos(u)| + C = log |{1+sin(u)}/cos(u)| + C
= log |sec(u)+tan(u)| = log|{√(1 + x2)} + x| + C
従ってF(x) = ∫(1/u) du= log(u) + C = log(1 + x2) + C
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∫{1/f(x)}･f'(x) dx の形の積分は、u = f(x) とおくと du = u'dx なので ∫{1/u}･du と書ける。 ∫{1/u}･du = log |u| + C = log |f(x)| + C となる。 この形の積分を特に対数積分と呼ぶことがある。 |
対数積分の形をしているので、 F(x) = -log |cos(x)| + C
= (1/3) log |(2x - 1)/(x + 1)| + C
| 分数関数の積分は部分分数に分解する。 |